HM[4]#12

[Thomas]

hat jemand schon die a) gemacht?
hab rausbekommen dass die richtungsableitung in jedem punkt a1³/(a1²+a2²) ist, bei der totalen differenzierbarkeit komm ich aber nicht weiter. bei der definition bekomm ich nix gescheites raus und die ableitungen sind auch nicht stetig, wenn ich nichts falsch gemacht hab. ich kann aba auch nciht 100% sagen, dass der lim der defintion nicht 0 ist da ich nur nach oben abgeschätzt habe. jemand vllt nen tipp?

für den 2. teil hab ich:

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a2 >= oder a2 < 0
und die richtungsableitung ist dann = 0

kann das jemand bestätigen?

[CubeZero]

Hi,

a1^2 + a2^2 = ||a||^2. Es gilt ||a|| = 1 nach unserer Definition. => Richtungsableitung von f im Punkt x0 = 0 aus R^2 in Richtung a = (a1, a2) ist gleich a1^3.

Ich hab die Richtung a = (1, 0) genommen.
Dann hab ich df / da an der Stelle (0,0) = (grad ausgerechnet) = a1^3 = 1.
Andererseits:
grad f(0,0) = (0,0).
Also grad f(0,0) * a = 0 aus R^1.
Und 1 != 0. Also ist f nicht in 0 aus R^2 db.

Wie kommst du bei der b) auf ein Zahlen-Ergebnis?
a2 <= 0 macht mMn nach Sinn, dann ist 0/t = 0 die Richtungsableitung.
Weiter hab ich für a1^2 <= a2 eine Richtungsableitung = 0.
Sonst gibt es keine. Wie kommst du auf die Zahl?

Grueße

[Thomas]

a1² + a2² = 1 und dann kannst du da das nach a1² auflösen und in a2 >= a1² einsetzen dann hast ne quadratische gleichung die du nach a2 auflösen kannst und erhälst 2 ergebnisse. ein negatives und ein positives dass negative hat man ja schon abgedeckt mit a2 <= 0

zu der 1) was machst du da mit dem grad? der grad ist doch (fx(0,0),fy(0,0)) was bei mir (1,0) war und du meinst dann es reicht zu sagen dass fy(0,0) != fx(0,0) ist, wenn ich dich richtig verstehe oda? müsste man nicht eher zeigen dass die ableitungen in 0,0 nicht stetig sind, also fy(x,y) für (x,y) gegen (0,0) ungleich fy(0,0) bzw das ganze nach x abgeleitet?
aber bin mir nicht sicher ob das überhaupt reicht zu zeigen dass die ableitungen nicht stetig sind. kann ne funktion nicht auch in einem punkt differenzierbar sein, wenn die partiellen ableitungen in diesem punkt dann nicht stetig sind? bin mir da ziemlich unsicher, ich weiß nur dass sie nicht differenzierbar wäre wenn die funktion selbst in dem punkt nicht stetig ist

[CubeZero]

Korrekt.
Der Grad f(0,0) = (1,0).
Dann nehme ich Richtung a = 1/Wurzel(2) * (1,1).
Dann ist Richtg.abl. = a1^3 = 1/(2*Wurzel(2)).
Und Grad f(0,0) * a = (1,0) * 1 / Wurzel(2) = 1/Wurzel(2).
Also im Nenner um den Faktor 2 verschieden.
Damit ist f in (0,0) nicht db, nach VL. Denn wenn sie db. waere, dann hab ich in jedem Punkt die Richtungsableitung gleich.