Aufgabe 43
Aufgabe 43
Was ist denn da passiert. Da stehen 2 Aussagen, aber keine Aufgabenstellung.
Da ein Hinweis zur Lösung der Aufgabe abgedruckt wurde, gehe ich mal davon aus, dass die schon wollen das man was macht ^^.
Man soll zeigen das die Aussagen richtig sind ne ?! Wäre super wenn das jmd. bestätigen könnte. Ansonsten mache ich das einfach aus Spass
Da ein Hinweis zur Lösung der Aufgabe abgedruckt wurde, gehe ich mal davon aus, dass die schon wollen das man was macht ^^.
Man soll zeigen das die Aussagen richtig sind ne ?! Wäre super wenn das jmd. bestätigen könnte. Ansonsten mache ich das einfach aus Spass
Re: Aufgabe 43
Ich habe unseren Übungsleiter in ILIAS gefragt. Ich zitiere:
Meine Fragen:
Meine Fragen:
Antworten:SLS hat geschrieben: Ich möchte wissen, ob folgendes stimmt:
1. Für die zu bestimmenden Zahlen a, b und c gibt es keine Einschränkungen? Etwa als ob es hieße "Bestimmen Sie Zahlen a, b und c aus R..."
2. Es reicht aus, wenn man drei bestimmte Zahlen mit der Eigenschaft findet, diese angibt (etwa z.B. (Zahlen sind zufällig und haben nichts mit dieser Aufgabe zu tun) a=1000, b=1/7 , c=sqrt(2) ), und danach beweist, dass die Bedingung tatsächlich erfüllt ist. (im Gegensatz zu >alle< solche Zahlen finden zu müssen)
3. Bei Aufgabe 43 soll man die entsprechenden Aussagen beweisen, oder?
Herr Ullmann hat geschrieben: 1. Es sollten schon reelle Zahlen sein, da habe ich mich etwas unpräzise ausgedrückt.
2. Das würde in der Tat ausreichen, aber ich glaube, es gibt tatsächlich nicht so sehr viele a,b, mit denen das funktioniert, c's hingegen schon.
3. So ist es. Wenn in den Aufgaben nur irgendwelche Aussagen formuliert werden, ohne explizite Anweisungen (wie "Berechnen Sie ..."), so ist stets gemeint, daß diese Aussagen zu beweisen sind.
When we say that two functions are almost always used together, we should remember that "almost" is a euphemism for "not."
-- David L. Parnas, "Designing Software for Ease of Extension and Contraction"
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Re: Aufgabe 43
Die (1) geht, wenn man den Taylor mit n=1 anwendet und dann gegen c abschätzt, wobei c das c ist von "f und f'' sind beschränkt <=> Es ex ein c>0 mit..."
Bei der (2) bin ich noch ein wenig ratlos..
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Re: Aufgabe 43
Wie bist du bei (1) das h bzw. x - x0 losgeworden? das verdirbt mir noch die abschätzung.localhorst hat geschrieben:Die (1) geht, wenn man den Taylor mit n=1 anwendet und dann gegen c abschätzt, wobei c das c ist von "f und f'' sind beschränkt <=> Es ex ein c>0 mit..."
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Re: Aufgabe 43
Sry, das hatte ich vergessen mit anzugeben.. ich war wohl ein wenig (2) versiert.. Mein Ansatz war ähnlich wie beim Ullmann am Freitag so:Christian S. hat geschrieben:Wie bist du bei (1) das h bzw. x - x0 losgeworden? das verdirbt mir noch die abschätzung.localhorst hat geschrieben:Die (1) geht, wenn man den Taylor mit n=1 anwendet und dann gegen c abschätzt, wobei c das c ist von "f und f'' sind beschränkt <=> Es ex ein c>0 mit..."
Bei der (2) bin ich noch ein wenig ratlos..
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Sei x € R. Es existiert ein xi € (x, x+1) mit:
f(x+1) = f(x) + f'(x) * 1 + 1/2 f''(xi) * 1
f(x+1) = f(x) + f'(x) * 1 + 1/2 f''(xi) * 1
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Re: Aufgabe 43
bei der 1) hab ich dann gemacht:
kann man das so schreiben?
und bei der 2) hab ich gemacht:
was meint ihr hier dazu?
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f(x+1) - f(x) = f'(x) + 1/2 * f''(xi)
da f(x) und f''(x) beschränkt ist gibt es ein c € R: c > |f(x+1) - f(x)| und ein c' € R: c' > |1/2 * f''(xi)|
also gibt es auch ein c'' € R: c'' > | f(x+1) - f(x) - 1/2 * f''(xi)| = |f'(x)|, womit f'(x) auch beschränkt wäre
da f(x) und f''(x) beschränkt ist gibt es ein c € R: c > |f(x+1) - f(x)| und ein c' € R: c' > |1/2 * f''(xi)|
also gibt es auch ein c'' € R: c'' > | f(x+1) - f(x) - 1/2 * f''(xi)| = |f'(x)|, womit f'(x) auch beschränkt wäre
und bei der 2) hab ich gemacht:
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aus der definition von f(x0 + h) hab ich gemacht:
f(x0 + h) = f(x0) + f'(x0) * h + ... + f(n+1)(x0) * 1/(n+1)! * h ^(n+1) + r(h),
was ja der satz v. taylor is, und damit wäre r(h) = f(n+2)(xi) * h ^(n+2) * 1/(n+2)!
und somit wäre
und das geht ja für h gegen 0 gegen 0
ist halt die frage ob f(n+2)(x) überhaupt existiert da f ja nur € C^(n+1)(R) ist
was anderes is mir aba leider noch nicht eingefallen
f(x0 + h) = f(x0) + f'(x0) * h + ... + f(n+1)(x0) * 1/(n+1)! * h ^(n+1) + r(h),
was ja der satz v. taylor is, und damit wäre r(h) = f(n+2)(xi) * h ^(n+2) * 1/(n+2)!
und somit wäre
und das geht ja für h gegen 0 gegen 0
ist halt die frage ob f(n+2)(x) überhaupt existiert da f ja nur € C^(n+1)(R) ist
was anderes is mir aba leider noch nicht eingefallen
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Re: Aufgabe 43
Zu 2): du darfst nur bis n+1 ableiten. 1) stimme ich dir zu, 2) musst f(x0 +h) bis n machen, also restglied vom typ n+1. die beiden summen heben sich auf, dann steht nur noch der rest - f^n+1(x0) da. da 0 gegen h geht und xi zwischen x0 und x0+h liegt geht xi gegen x0 und das insgesamt somit gegen 0.
Re: Aufgabe 43
Ich habe erstmal r(h) berechnet, das müsste ja folgendes sein:
Meine Frage erstmal: Stimmt das soweit?
Wenn ich diese Gleichung jetzt durch h^n+1 teile kommt in der Gleichung überhaupt kein h mehr vor, folglich geht das auch nicht gegen 0.
Kann mir jemand sagen wo mein Denkfehler liegt?
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Wenn ich diese Gleichung jetzt durch h^n+1 teile kommt in der Gleichung überhaupt kein h mehr vor, folglich geht das auch nicht gegen 0.
Kann mir jemand sagen wo mein Denkfehler liegt?
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Re: Aufgabe 43
somt is r(h) ja immer 0. aba dann hab ich ja bei r(h)/h^n+1 gegen 0 0/0 oder?Christian S. hat geschrieben:Zu 2): du darfst nur bis n+1 ableiten. 1) stimme ich dir zu, 2) musst f(x0 +h) bis n machen, also restglied vom typ n+1. die beiden summen heben sich auf, dann steht nur noch der rest - f^n+1(x0) da. da 0 gegen h geht und xi zwischen x0 und x0+h liegt geht xi gegen x0 und das insgesamt somit gegen 0.
Re: Aufgabe 43
kannst du mir erklären, warum man nur bis n ableiten soll?
mir ist schon klar, dass man das bei Taylor so macht. Nur heißt bei Taylor die Summe dann auch Summe von k = 0 bis n. Hier heißt sie aber Summe von k = 0 bis n+1, was man denke ich auch einfach als Indexverschiebung sehen könnte, oder irre ich mich da? Dann wäre es nämlich richtig, bis n+1 abzuleiten und den Rest mit n+2 zu berechnen.
mir ist schon klar, dass man das bei Taylor so macht. Nur heißt bei Taylor die Summe dann auch Summe von k = 0 bis n. Hier heißt sie aber Summe von k = 0 bis n+1, was man denke ich auch einfach als Indexverschiebung sehen könnte, oder irre ich mich da? Dann wäre es nämlich richtig, bis n+1 abzuleiten und den Rest mit n+2 zu berechnen.